数学界迎来重磅消息！
近日，GPT-6 Astra在哥德巴赫猜想研究上取得了新突破。
网友Captain Sude宣布：Astra成功证明了一项与刘维尔函数相关的类哥德巴赫猜想。
具体而言，它无条件证明了哥德巴赫猜想的Liouville弱形式。
更令人意外的是，与普遍预期不同，Astra并非仅依靠算力碾压，而是展现了极为优雅的逻辑推理。
而且，该证明已通过Lean 4的形式化验证。
摘不下的明珠
此前，哥德巴赫猜想已困扰人类数学家近三个世纪。
1742年，哥德巴赫在致欧拉的信中提出猜想：“任一大于2的偶数，都可写成两个素数之和。”
无数人为之倾注心血。从哈代、李特尔伍德，到陈景润证明“1+2”，人类始终未能摘取皇冠上的明珠——“1+1”。
原因在于，素数的分布极其诡异。
既然直接攻关困难，数学家们便另辟蹊径，提出了刘维尔版本的哥德巴赫猜想。
为模拟素数，数学家引入了刘维尔函数。
该函数记作λ(n)，其中的n代表一个数字包含的质数因子总个数。
它的规则类似一个只认“单双数”的开关：若一个数包含的质数块个数为偶数，则λ(n)=1。
若质数块个数为奇数，则λ(n)=-1。
所有纯质数（如2, 3, 5, 7, 11）的刘维尔函数值均为-1。但反之不成立，例如8和12的λ值也是-1。
2018年，在数学论坛MathOverflow上，有人提出了弱化版哥德巴赫猜想：
对于每个大于2的偶数N，是否总能找到两个正整数a和b，使得N=a+b，且λ(a)=λ(b)=−1。
若经典哥德巴赫猜想成立，这两个素数的刘维尔值必为-1，因此该“刘维尔猜想”也必然成立。
但如今，数学家放宽了条件：加数不必是纯素数，只需其质因子个数为奇数。
黎曼阴影下的突围：AI给出惊天两页纸
条件放宽后，证明是否容易？结果依然极其困难。
核心问题在于，数学家希望研究正负交替的符号在加法组合下是否像抛硬币般相互抵消，从而揭示加法底层的深层秩序。这涉及打通“乘法积木”与“加法组合”之间的桥梁。
直到2024年，数学家Alexander P. Mangerel取得突破。在一篇论文中，他证明：对所有足够大的偶数，该猜想成立。
但证明存在两个限制。
而这次，Astra和Captain Sude的团队直接突破了这两个枷锁。
起初，Astra提交了一份仅两页的PDF。
这份精炼的论文中，Astra宣布——
无需广义黎曼猜想，可无条件证明：所有能被4整除的正整数，均可表示为两个刘维尔值为-1的正整数之和。
PDF中，Astra巧妙运用了Mangerel论文中的一个“无条件相关性界限”，结合了极其精妙的下降法。
定理的核心逻辑采用反证法：假设存在奇数m（不被3整除），且在4m规模下，没有任何一对和为4m的数字的刘维尔值均为-1。
接着，Astra步步紧逼。
它发现，若假设4m无此拆分，通过乘法与加法的交错逼近，局部会迫使所有数字带相反符号，直接违背Mangerel证明的界限。
就这样，仅用初等代数推导（甚至高中生都能看懂），Astra发现了无条件成立的情况。
48小时，彻底终结全偶数域
而且，进展并未停止。
据项目作者Captain Sude透露，Astra在第一天证明“4的倍数”情形后，第二天又找到一条全新的初等证明路线，将结果推广至所有大于2的偶数。
这次，它给出核心主张：
其中，没有“充分大”限制，没有有限例外集，所有偶数无条件成立。
而其证明思路令人拍案叫绝。
它未使用暴力穷举，也未压缩解析估计，而是完成了一步漂亮的“结构转化”。
AI的逻辑链条如下。
第一步：寻找替罪羊。 AI先证明，对每个大于3的素数p，存在正整数u、v，使2p=u+v，且它们的刘维尔值均为1。若不成立，则构成“加法符号模式的缺失”。
第二步：逼迫现出原形。 将刘维尔函数延拓至有限域Fp上，定义函数G。因前述“加法分解不存在”，函数G在局部被逼出乘法对称性缺陷。
第三步：完美的交换律。 这是证明中最惊艳之笔！因乘以-2再乘以-3，与乘以-3再乘以-2相同。AI利用此“可交换”性质，让两条路径相互抵消，最终消灭所有非零缺陷。
第四步：向全局传染。 利用下降引理，将局部成立的乘法规则像病毒一样传播至整个有限域，迫使函数G成为全局严格的乘法对象。
第五步：致命一击（二次剩余制造矛盾）。 既然G变为严格乘法函数，任何数的平方其G值必为1。然而，根据二次互反律，能在有限域内找到一个素数ℓ，它虽是“平方数”，但因是素数，其刘维尔值又必须为-1。
于是，1 = -1。矛盾爆发！
至此，“分解不存在”的假设被彻底粉碎。Liouville–Goldbach猜想在全偶数域无条件成立。
这条将加法阻碍转化为乘法刚性的论证路线，极为优雅，体现了高度抽象和直觉的顶级思维。
已通过Lean 4形式化验证
此次，Astra还同时提交了Lean 4的完整形式化验证。
通过Lean 4验证，意味着逻辑上绝对正确。
知乎用户@SUNNY99 立即对Astra开源的v1.0.0版本进行独立复核。结果令人震撼：Lean证明可完美重新编译。
其中，最终定理与论文主张完全一致。代码中无任何“sorry”（代表未填补的坑），无乱造的自定义数学公理，所有公理依赖完全正常，249个偶数的数值冒烟测试全部通过。
看到这里，可能有人会问：这代表哥德巴赫猜想被彻底解决了吗？
必须严谨地说：还没有。
目前解决的，是哥德巴赫猜想的刘维尔弱化版本。
从“质因数个数为奇数的合数”跨越到“纯正的质数”，中间仍有天堑。经典哥德巴赫猜想仍是高高悬挂的果实。
但这绝不意味着此次突破不伟大。
首先，在纯数学意义上，它为数论搭起了一座打通“乘法积木”与“加法组合”的宏伟桥梁。
这可能是未来攻克原版哥德巴赫猜想的核心钥匙。
其次，在AI意义上，这是一个历史性的奇点时刻。
一直以来，人们认为AI擅长海量记忆和暴力计算，如围棋或蛋白质折叠。但此次，Astra展现了惊人的数学直觉和品味。
它像一位极具天赋的数学家，写出一篇让人类数学家直呼优雅的证明。
参考资料：
https://x.com/captain_sude/status/2099890355613155420
https://www.zhihu.com/question/2083895373177931200/answer/2084099614551102975
本文来自微信公众号“新智元”，作者：ASI启示录，编辑：Aeneas 大卫，36氪经授权发布。如需了解更多前沿科技资讯，欢迎通过九游平台获取相关内容。
2022-03-14
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